偏微分古典解法？ 微分方程的解法？

• 发布时间：2024-06-30 19:56:20 作者：Anita

一、偏微分古典解法？可分为两大分支:解析解法和数值解法。只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。数值解法最常见的有三种:差分法(最普遍最通用)、有限体积法、有限元法，其他数值解法还有:正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。二、微分方程的解法？要了解微分方程，得从微分说起，微分...

一、偏微分古典解法？

可分为两大分支:解析解法和数值解法。

只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。

数值解法最常见的有三种:差分法(最普遍最通用)、有限体积法、有限元法，其他数值解法还有:正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。

二、微分方程的解法？

要了解微分方程，得从微分说起，微分的核心是变化率。就比如速度v = d x d t v=\frac{dx}{dt}v=

dt

dx

​

，即每一时刻距离的变化；而加速度a = d v d t a=\frac{dv}{dt}a=

dt

dv

​

，即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后，我们再来看微分方程，简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为：描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分：

常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）：函数自变量只有一个，如：y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+qy

′

(x)=py+q。

偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）：函数有多个自变量，如：∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t)

∂t

∂T

​

(x,y,t)=

∂x

2

∂

2

T

​

(x,y,t)+

∂y

2

∂

2

T

​

(x,y,t)

微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程，具体的组成（解法）如下图：

微分方程

2 一阶方程

2.1 一阶线性微分方程

三、常微分方程的解法？

常系数非齐次线性的微分方程（两种类型），设解特解的时候用到

欧拉方程形式的微分方程（非齐次），原理还是转换成常系数非齐次线性，同样设解特解的时候用到

四、二次微分解法？

这是一维热传导方程的初边值问题，可以用分离变量法求解

令t(x,τ)=X(x)*T(τ)，代入方程，得：

X*T'=aT*X''

令-r=T'/aT=X''/X

则T'+raT=0，X''+rX=0，且X'(0)=0，-λX'(δ)=h[X(δ)-X(∞)]

当r<=0时，X(x)=C1*e^[√(-r)x]+C2*e^[-√(-r)x]

X'=√(-r)C1*e^[√(-r)x]-√(-r)C2*e^[-√(-r)x]

X'(0)=√(-r)C1-√(-r)C2=0，得：C1=C2

即X(x)=C*e^[√(-r)x]+C*e^[-√(-r)x]

X'=√(-r)C*e^[√(-r)x]-√(-r)C*e^[-√(-r)x]

-λ√(-r)C*{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]}=hC*{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]-∞}

等式左边为有界量，右边{e^[√(-r)δ]-e^[-√(-r)δ]-∞}为无穷量，所以C=0

所以X(x)=0

当r>0时，X(x)=C1*cos(√r*x)+C2*sin(√r*x)

X'=-C1*√r*sin(√r*x)+C2*√r*cos(√r*x)

X'(0)=C2*√r=0，得：C2=0

即X(x)=C*cos(√r*x)

X'=-C*√r*sin(√r*x)

λC*√r*sin(√r*δ)=hC*[cos(√r*δ)-cos(√r*∞)]

等式左边为定值，右边[cos(√r*δ)-cos(√r*∞)]为不定值，所以C=0

所以X(x)=0

综上所述，X(x)=0，即t(x,τ)=X(x)*T(τ)=0

五、微分方程缺x型解法？

y''=(3/2)y^2 为缺x型二阶微分方程,

令 y'=p,则 y''=dp/dx=(dp/dy) (dy/dx)=pdp/dy.得

pdp/dy=(3/2)y^2,2pdp=3y^2dy,p^2=y^3+C1.

y|x=3 =1,y'|x=3 =1,即 p|y=1 = 1,代入

p^2=y^3+C1,得 1=1+C1,则 C1=0,

P^2=y^3,p=±y^(3/2).

对于 y'=y^(3/2),得 x=y^(-3/2)dy,x=-2y^(-1/2)+C2,

y|x=3 =1,代入得 3=-2+C2,得 C2=5,x=5-2/√y;

对于 y'=-y^(3/2),不满足 y'|y=1 = 1,故舍弃.

所求特解为 x=5-2/√y.

六、全微分方程解法原理？

根据二元函数的全微分求积定理：设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是，在G内恒成立.

全微分方程的判断：

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程的充分必要条件是。

在区域G内恒成立，且当此条件满足时，方程通解为u（x,y）=P(x,y)dx+Q(x,y)=C

七、一阶线性微分解法？

一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)的解法有常数变易法和公式法，其中公式法为y=e^(-∫p(x)dx){∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C}

八、sisulink求解微分方程的解法？

1. 建立模型：在sisulink中，可以使用Simulink模块库中的不同模块来建立微分方程模型。选择合适的模块来描述微分方程，例如积分器、微分器、增益模块等。

2. 设定初始条件：在模型中设定初始条件，包括初值、边界条件等。这些条件是求解微分方程的必要条件。

3. 选择求解器：sisulink提供了多种求解微分方程的方法，包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。根据模型的特点选择合适的求解器。

4. 运行模型：在sisulink中运行模型，求解微分方程。

5. 分析结果：分析模型的输出结果，包括时间序列、相图、频谱图等，验证模型的正确性。

九、微分方程组的解法？

线性微分方程组一般形式 X'(t)＋AX(t)＝Bu(t)，先讨论齐次方程 X'(t)＋AX(t)＝0 之解。①对主矩阵A求特征值及特征向量，将特征向量组成矩阵P，②求标准基解矩阵 e^At＝P e^(Λt) (P逆)。当几何重数<代数重数时，主矩阵A不可对角化，我们采取准对角化方法 (即若当对角化J)，e^At＝Q^(Jt)(Q逆)。③代入初始条件求0输入的解。

十、冲激响应的微分算子解法？

冲激响应的一般求法：

（1）简单电路，列出微分方程，直接求冲激响应。注意电感电流和电容电压会产生跳变。

（2）最普遍的一种方法，利用三要素法先求出阶跃响应，再对时间求导的冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应h(t)=ds(t)/d(t)其中，h(t)为冲激响应，s(t)为阶跃响应。