1.正值性质当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:a、图像都经过点(1,1)(0,0);b、函数的图像在区间[0,+)上是增函数;c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0; 2.负值性质当α<...
1.正值性质
当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:
a、图像都经过点(1,1)(0,0);
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;
c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0;
2.负值性质
当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
a、图像都通过点(1,1);
b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X-2,易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。
c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。
3.零值性质
当α=0时,幂函数y=xa有下列性质:
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。
二、幂函数图像及性质
性质:当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:a、图像都经过点(1,1)(0,0);b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大等。
1、定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数。
2、性质:α>0,图像都过定点(0,0)和(1,1);在区间(0,+∞)上单调递增;
α<0,图像都过定点(1,1);在区间(0,+∞)上单调递减。
幂函数图像的性质:
所有幂函数在(0,+∞)上都有定义.
①α>0,图像都过定点(0,0)和(1,1);在区间(0,+∞)上单调递增;
②α<0,图像都过定点(1,1);在区间(0,+∞)上单调递减;
③当Ol时,曲线下凸.
④当a=l时,图象为过点(0,0)和(1,1)的直线.
⑤当a=0时, 表示过点(1,1)且平行于x轴的直线(除去点(0,1)) 。
三、幂函数图象的其他性质:
(1)图象的对称性:
把幂函数 的幂指数a(只讨论a是有理数的情况)表示成既约分数的形式(整数看作是分母1的分数),则不论a>0还是a<0,幂函数 的图象的对称性用口诀记为:“子奇母偶孤单单;母奇子偶分两边;分子分母均为奇,原点对称莫忘记”,
(2)图象的形状:
①若a>0,则幂函数 的图象为抛物线形,当a>l时,图象在[0,+∞)上是向下凸的(称为凸函数);当O ②若a<0,则幂函数y=x“的图象是双曲线形,图象与x轴、y轴无限接近,在(0,+∞)上图象都是向下凸的。 四、幂函数的单调性和奇偶性: 对于幂函数 (a∈R). (1)单调性 当a>0时,函数 在第一象限内是增函数;当a<0时,函数 在第一象限内是减函数. (2)奇偶性 ①当a为整数时, 若a为偶数,则 是偶函数;若a为奇数,则 是奇函数。 ②当n为分数,即 (p,q互素,p,q∈Z)时,若分母q为奇数,则分子p为奇数时, 为奇函数;分子p为偶数时, 为偶函数, 若分母q为偶数,则 为非奇非偶函数.
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